有关所有乐理（音程、调式、和弦、和声等）的思考与研究

和声资料阅读笔记

以下 2 节是 Functional Harmony: Review and Update of the System的阅读笔记（只读了开头，后面看不懂 orz），本来想学和声但是发现和声进行和调式的色彩有关联。

功能的定义

功能指的是任何音乐元素在乐曲行动能力中扮演的角色。如果将音乐看作一种语言，功能就是每个音乐元素在语言中所表达的内容。

本文中还提到了一种有意思的观点，由于功能（function）这个词同时也有「函数」的意思，即在两个集合间的一种映射。而音高的移调、和弦的上下平移也是一种映射，因此这也可以看作是一种「函数」。那么「function」在音乐中就可以指不同的对象集合中具有相似特征的那些对所构成的映射。

和声理论基础：拉莫和……？

和声的概念最早出现在古希腊理论中，当时它指的是两个音符的结合，而在文艺复兴时期是三个音符（即现在的和弦）。

乔塞夫·扎里诺（ 1517‑1590 ）第一个将他的和声概念建立在由五度和三度组成的三和弦理念上，直到在 18-19 世纪，和声理论逐渐演变为将和弦视作一个不可分割的基本单位来研究。

在 17 世纪，人们开始对和弦的转位(inversion)开始研究，早期的观点认为和弦的性质由其低音决定，而拉莫（1722）是第一个提出音符相同但低音不同的和弦之间存在功能等价性的人，他认为，无论是 E-G-C 还是 G-C-E，它们都存在一个抽象的基本低音 C，即使没有被实际演奏，而这个低音才是和弦的起源。（这一观点与泛音列的根音的物理本质不谋而合）

调式的分析

警告：这一段全是我自己脑内遐想的，如果与任何现有资料雷同，算我聪明。如果与现有资料冲突，算我想象力丰富。

中古调式

• 注：空格表示该级音与自然大调中的对应音相同，#表示较自然大调升半音，b 表示降半音，x 表示没有这个音。
• 注 2：Lydian 调式6+没有下属音，Locrian 调式6-没有属音，下面会讲为什么。
• 注 3：用 6+和 6-这种方式标识调式适合我这种记不住洋文的人，下面会解释这是什么意思。

中古教会调式（上表的前 7 个）都等价于在 C 大调中选取不同的音作为主音而派生的，这不禁让我们提出这样一个问题：为什么历史独独选择了自然大调作为传统音乐的准绳——毕竟如果从任何一个音开始往上五度相生并且采用前 7 个音，推出来的应该是现在的Lydian 调式6+才对。

关于这个问軆，我的思考如下。首先考虑为什么，在选取一个音作为主音（I 级）的情况下，属音（V 级）和下属音（IV 级）具有特别的地位——因为它们能和主音成纯五度和纯四度（频率 3:2 和 4:3）关系，或者换句话说，就是分别在主音上方和下方一个纯五度。

到这里其实你应该发现一个问题：这是 C 大调里面的 IV 和 V 级音啊，但是比如Lydian 调式6+和Locrian 调式6-它们的 IV 和 V 级音都带升降号，和主音并不是纯五度关系！

有趣的是，如果将中古调式的「等价 C 大调主音」按照五度圈排序，你会发现表中的升降号——完全就是在五度圈上相反的主音的自然大调在谱表上的升降号——例如 D 大调有两个升号（F# D#），那么在五度圈上 D 的反向是 Bb，Bb 自然大调有两个降号（Bb Eb），而 Dorian 调式恰好就是降 III 和 VII 级音。其实这并不是巧合，稍加一些推导可以发现这是一种必然。

有些跑题了，我们继续回到之前的问题。为什么Lydian 调式6+和Locrian 调式6-分别没有下属音和属音呢？ 正如之前提到的，从任何一个音开始往上五度相生并且采用前 7 个音，推出来的应该是的Lydian 调式6+，而稍加注意可以发现，从任何一个音开始向下五度相生，最后得出来的是Locrian 调式6-。

那么答案呼之欲出了：从主音开始，向上六次五度可以推出Lydian 调式6+，所以它没有下属音；向下六次五度可以推出Locrian 调式6-，所以它没有属音（这也是我标记 6+和 6-的意思，中间的其他调式含义类似）。这两个调式中的带有升降号的 V 级音和 IV 级音并不是属音和下属音。中间的一系列调式，分别是向上 n 次和向下 6-n 次五度推出来的，由于它们分别向上和向下所得到的第一个音就是属音和下属音，自然它们就不会缺失这两个音。这一理解方式反而进一步确认了属音和下属音的重要性：属音和下属音是距离主音最近的音。Lydian 调式6+和Locrian 调式6-缺失属音和下属音.

到此你又会提出一个问题：那为什么我们不采用向上三次，向下三次的Dorian 调式3+3-？毕竟按照上面的说法，Dorian 调式3+3-中的所有音应该都是距离主音最近的！

为解决此问题，我提出一个观点：人对于沿着泛音列向上更敏感，而向下不那么敏感。（注：这里所说「向下」的并非沉音列。沉音列是频率依次为 $\{f,f/2,f/3,f/4,...\}$的无限音列，而「沿着泛音列向下」指的是 $\{nf,(n-1)f,(n-2)f,...,2f,f\}$ 的有限音列。）

要体验这种观点，你可以尝试取两个音，比如相距纯五度。先播放高音，再播放低音，你能否准确地指出这两个音之间的音程或者色彩。然后再反过来，先播放低音，再播放高音，再尝试辨识色彩。从我个人的体验来说，前者是会明显困难一些的。当然肯定有人相比我有更丰富的训练或者更优秀的天赋，所以我只是在此提供一个猜想（稍微查询了一点资料，似乎是有这方面的研究支持）。

继续究其原因，我想大约是，先低音后高音（假定是纯八度），后者的泛音列都落在前者的泛音列中，都是刚刚听过的熟悉的音，只是强度有变化，所以大脑容易分辨。而反之，先高音后低音，尽管后者的泛音列有大多数落在前者之中，但强度最大的根音是全新的，所以大脑产生了不熟悉的感觉。

由于人类对向下泛音列辨识不敏感，所以向下五度——一个就够了吧。或许这就是为什么没有采用Dorian 调式3+3-的原因。

那你该提出：为什么自然小调4-2+甚至有四个向下五度，但是依然应用很广泛呢？

那我又要搬出另一个理论了。根据一些资料，认为上表中的中古调式，越靠上的越「明亮」，而越靠下的越「暗淡」。而想必所有人都听说过这样一个说法：大三和弦比较明亮、庄严，小三和弦比较暗淡、忧伤。

根据 LΛMPLIGHT 的理论，一个和弦有「悬垂音」的时候会显得「不稳定」。这个理论是一套全新的微分音乐理论，在这里讨论有点超出本文的内容了，仅作最简单的介绍。

从一个和弦的根音开始，执行任意次以下操作：「向上或向下纯八度、纯五度或大三度」以生成一个和弦内音。如果对于任意一个和弦内音，以下条件都对所需步数最少的生成方式成立：

1. 所有移动只向上
2. 生成过程中路过的所有音都是和弦内音

那么称这个和弦是「稳定」的，否则就是不稳定的。

注：我这里给出的是一个方便理解的解释，更准确地说，对于一个和弦的所有音的频率$\{f_1,f_2,...,f_n\}$，对于给定的容忍误差$\varepsilon>0$，寻找最大的频率$f_0$ 使得存在一组正整数 $\{n_i\}_{i=1}^n \in \mathbb{N}^n$ 令 $|\log_2(nf_0/f_i)|<\varepsilon$, $\forall i=1,...,n$ 成立。那么这一组正整数$\{n_i\}_{i=1}^n$中，如果：

1. 如果没有任何一个$n_i$是 2 的幂（含$2^0=1$），那么和弦不稳定，并且$n_i$越大越不稳定。
2. 如果有$n_i$是 2 的幂（含$2^0=1$），那么和弦稳定，并且这样的$n_i$越多、越小越稳定。

不过这个判据在操作中似乎也有问题（减三和弦）。哎，还得继续研究。

用这个判据容易得出，大三和弦是「稳定」的，而小三和弦是「不稳定」的，减三和弦是「超级不稳定」的

• 大三和弦：三级音可以通过根音向上大三度得到，五级音可以通过根音向上纯五度得到
• 小三和弦：五级音同理，但是三级音只能通过五级音向下大三度得到
• 减三和弦：三级音的生成需要五级音向下，但是五级音不是和弦内音，更别提有个三全音了

我们不难注意到，排除属音和下属音不全的Lydian和Locrian调式，再排除有不谐和的减三和弦的Phrygian调式，自然大调1-5+居于最明亮的调式之首，自然小调4-2+则处于最暗淡的一端，并且自然大调1-5+的三个和弦都是大三和弦，自然小调4-2+的三个和弦都是小三和弦……我想这就是为什么自然大调1-5+和自然小调4-2+最典型而被冠以「自然」之名了。

这样我们可以从另外一个角度解释中古调式的「明亮度」顺序了（之前是用向上向下泛音列解释的）：考虑主、属和下属三个调内三和弦，明亮度按大三>小三>减三递减，一个调式的「明亮度」是它这三个和弦「明亮度」的总和。在此之上，额外加上：缺失属音额外降低「明亮度」，缺失下属音额外增加「明亮度」，就可以构成上表所述的规则了。

聪明的你一定还会想到，我能不能用上表没有的三个和弦组合推导调式？可以的，朋友，可以的。例如用小、大、小的主、属、下属和弦可以推导出降 III 级和降 VI 级的调式，这个调式在五度圈上是不连续的，并非中古调式。当你的视角到了这里之后，就可以不必拘泥于五度圈和中古调式了，可以向其他方向尝试发掘！

五声调式

中国传统五声调式的派生其实和中古调式很类似，也可以认为是从五度相生出来的。唯一区别就是从五度圈中选取 5 个连续的音，而不是 7 个。

阴旋法其实更类似旋律小调，本质是在阳旋法上作的修改，并非直接从五度圈派生。琉球音阶更是完全不能用这种方式分析了。

谐和与不谐和音程

这个表格尝试用最简整数比来拟合 12 平均律下的各个音程频率比，如果按照「音程频率比是简单整数比就是谐和音程」的话，那可以说除了小二度和大七度以外都是谐和的——那三全音呢？

（不知道，还需要更多研究）