地球上任何时刻一定存在一对对跖zhí点，具有完全相同的温度和气压。

这个问题是在3B1B的一个视频中介绍的，作为Borsuk-Ularm定理的现实例子。我看到这个案例的时候，确实惊讶于它居然是一个拓扑问题，而非我第一反应的地理或是解析问题。

对跖点（antipodes），亦称为对跖地，为地理学与几何学上的名词。球面上任一点与球心的连线会交球面于另一点，亦即位于球体直径两端的点，这两点互称为对跖点。也就是说，从地球上的某一地点向地心出发，穿过地心后所抵达的另一端，就是该地点的对跖点。即：地球直径的两个端点，互为对跖点。因此，对跖点也可称为地球的相对极。例如，北京的对跖点在阿根廷布兰卡港，而西安的对跖点大致是智利圣地亚哥。 ——对跖点计算器

了解了问题之后，我们再来看看解决这个问题的重要引理，Borsuk-Ularm定理的描述：

In mathematics, the Borsuk–Ulam theorem states that every continuous function from an n-sphere into Euclidean n-space maps some pair of antipodal points to the same point. Here, two points on a sphere are called antipodal if they are in exactly opposite directions from the sphere's center. Formally: if ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ is continuous then there exists an ${\displaystyle x\in S^{n}}$ such that ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$. ——Wikipedia

用二维的人话来说就是，如果有一个连续的映射，将二维球面映射到二维欧氏空间，那么球面上一定有一对球面上的对跖点被映射到欧氏空间中的同一点。

如果用更咖啡杯和甜甜圈的语言来描述，则是，在不撕裂球面的情况下，将一个球面展平到平面上，那么必定有原来的球面上的一对对跖点被展到重合的一点。

好吧，无论哪种说法听起来都差不多，而且似乎是容易理解的，但是稍后我们会用更严谨一点的语言来说明它。在这之前，我们先考虑一下开头提出的问题如何与这个定理联系起来。

首先，把地球表面抽象成一个球面，想必大家是不会有意见的。但如果你比较较真一点，可能会提出，首先地球并非一个正球而是椭球，其次地球表面凹凸不平。对于这两个问题，我们其实都可以通过坐标系的转换来解决——谁说这里的球面就是我们生活的平直空间中的球面了？我们可以用一个连续双射把现实中的地球球面映射到理想球面，换言之，现实地球球面和理想球面同胚。而对于这个双射，我们在之后把它和我们在应用Borsuk-Ularm定理时的映射复合一下，就解决了这个问题。

应用B-U定理还需要一个欧氏空间，仔细观察问题不难发现，可以定义一个温度-气压张成的二维欧氏空间。那么定理中的映射自然就是从地表一点的三维坐标到温度和气压的映射了。在此我们需要假定温度和气压场在地球表面是空间连续的，这想必也不是一个很过分的假设。那么到此，通过应用B-U定理，我们便可以得出结论：对于地球表面这个球面，到温度-气压的二维欧氏空间的连续映射，必定有一对对跖点被映射到同一点，即具有相同的温度和气压。

说到这里你可能会觉得，这个引理虽然直觉看上去是正确的，但并没有比较严谨的证明。尽管完全严格的证明并非我的能力所能及，我在这里依然会根据视频中的描述进行说明。

设映射为 $f: \vec{\rm y}=f(\vec{\rm p})$ ，其中 $\vec{\rm p}$ 是二维球面上的三维坐标 $(x_1,x_2,x_3)$，$\vec{\rm y}$ 是二维欧氏空间坐标，在我们这里的例子中为 $(T,p)$ ，那么我们可以定义一个新映射：

那么假如点 $\vec{\rm p}$ 确实能够和对跖点被 $f$ 映射到同一点，则有 $g(\vec{\rm p})=0$ ，这样我们将一个相等的问题转移成了等于零的问题。因此我们需要证明，球面上存在一个点，在 $g$ 映射下被映射到原点。

映射 $g$ 有一个关键的性质：

这说明一个点和对跖点在 $g$ 映射下一定关于原点对称。

此时我们考虑地球球面的赤道大圆上的每一点在 $g$ 映射下的图形，由于赤道大圆上相距180°的两个点就是对跖点，说明此图形一定是一个关于原点对称的封闭曲线，换言之，赤道大圆在 $g$ 映射下一定被映射到一个将原点包含在内的封闭曲线（或者恰好经过原点，这样的话我们直接就证明了结论）。

接下来，我们在球面上将赤道大圆连续地缩到北极点，由于映射 $f$ 连续，所以映射 $g$ 连续，所以所考虑的圆在 $g$ 上映射出的连续封闭曲线也连续地缩小，直到同样缩成一个点（一般这个点不是原点）。那么一定在缩小的某个时刻，该曲线恰好经过原点（或者缩到原点）。

因此，在球面上一定存在一个点，它被 $g$ 映射到原点，即它和对跖点被 $f$ 映射到一个重合的点。

我之所以觉得这个问题非常有趣，是在于它一眼看起来和拓扑并没有什么关系，而等实际了解到背后的原理的时候，才发现其蕴含着非常普遍且深刻的数学原理。